Question

（2013•眉山）如图，在函数y₁=

k1

x

（x＜0）和y₂=

k2

x

（x＞0）的图象上，分别有A、B两点，若AB∥x轴，交y轴于点C，且OA⊥OB，S_△AOC=

1

2

，S_△BOC=

9

2

，则线段AB的长度=

10 3

3

．

Answer 1

分析：根据反比例函数y=

k

x

（k≠0）系数k的几何意义易得两反比例解析式为y=-

1

x

，y=

9

x

，设B点坐标为（

9

t

，t）（t＞0），则可表示出A点坐标为（-

1

t

，t），然后证明Rt△AOC∽Rt△OBC，得到OC：BC=AC：OC，即t：

9

t

=

1

t

：t，解得t=

3

，再确定A、B点的坐标，最后用两点的横坐标之差来得到线段AB的长．

解答：解：∵S_△AOC=

1

2

，S_△BOC=

9

2

，
∴

1

2

|k₁|=

1

2

，

1

2

|k₂|=

9

2

，
∴k₁=-1，k₂=9，
∴两反比例解析式为y=-

1

x

，y=

9

x

，
设B点坐标为（

9

t

，t）（t＞0），
∵AB∥x轴，
∴A点的纵坐标为t，
把y=t代入y=-

1

x

得x=-

1

t

，
∴A点坐标为（-

1

t

，t），
∵OA⊥OB，
∴∠AOC=∠OBC，
∴Rt△AOC∽Rt△OBC，
∴OC：BC=AC：OC，即t：

9

t

=

1

t

：t，
∴t=

3

，
∴A点坐标为（-

3

3

，

3

），B点坐标为（3

3

，

3

），
∴线段AB的长度=3

3

-（-

3

3

）=

10 3

3

．
故答案为

10 3

3

．

点评：本题考查了反比例函数y=

k

x

（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=

k

x

（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．