Question

如图点P是等边三角形ABC内部一点，且PA=2，PB=2，PC=4，则∠APC的大小是________度．

Answer 1

120
分析：由于△ABC为等边三角形，所以将△ABP绕A点逆时针旋转60°得△ACP′，根据旋转的性质得到AB与AC重合，∠PAP′=60°，AP′=AP=2，P′C=PB=2，则△APP′是等边三角形，得到PP′=2；在△PPC中，利用勾股定理的逆定理可得到∠PP′C=90°，同时得到∠P′CP=30°，因此∠P′PC=60°，即可得到APC=∠APP′+∠P′PC．
解答：解：∵△ABC为等边三角形，
则将△ABP绕A点逆时针旋转60°得△ACP′，如图，连PP′
∴AB与AC重合，∠PAP′=60°，
∴AP′=AP=2，P′C=PB=2，
∴△APP′是等边三角形，
∴PP′=2，
在△PPC中，PP′=2，P′C=2，PC=4，
∴PP^'2+P′C²=16=PC²
∴∠PP′C=90°，∠P′CP=30°，
∴∠P′PC=60°
所以∠APC=∠APP′+∠P′PC=120°．
故答案为120．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质和勾股定理的逆定理以及在直角三角形中一直角边等于斜边的一半则这条直角边所对的角为30度．