Question

如图1，已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0，0)，A(0，n)，C(m，0)．动点P从点O出发依次沿线段OA，AB，BC向点C移动，设移动路程为z，△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示．m，n是常数， m＞1，n＞0．

（1）请你确定n的值和点B的坐标；

（2）当动点P是经过点O，C的抛物线y＝ax＋bx＋c的顶点，且在双曲线y＝上时，求这时四边形OABC的面积．

Answer 1

解：(1) 从图中可知，当P从O向A运动时，△POC的面积S＝mz， z由0逐步增大到2,则S由0逐步增大到m，故OA＝2，n＝2 .

同理，AB＝1，故点B的坐标是(1，2).

(2)解法一：

∵抛物线y＝ax＋bx＋c经过点O(0，0)，C(m ，0),∴c＝0，b＝－am，

∴抛物线为y＝ax－amx，顶点坐标为(，－am²)

如图1，设经过点O，C，P的抛物线为l.当P在OA上运动时，O,P都在y轴上，

这时P,O,C三点不可能同在一条抛物线上，∴这时抛物线l不存在, 故不存在m的值..①

当点P与C重合时，双曲线y＝不可能经过P,故也不存在m的值.②

当P在AB上运动时，即当0<x≤1时，y＝2，

抛物线l的顶点为P(，2).

∵P在双曲线y＝上，可得 m＝，∵>2,与 x＝≤1不合，舍去.③

容易求得直线BC的解析式是：

当P在BC上运动，设P的坐标为  (x,y)，当P是顶点时 x＝，

故得y＝＝，顶点P为(，)，

∵1< x＝<m，∴m>2，又∵P在双曲线y＝上，

于是，×＝，化简后得5m－22m＋22＝0,

解得,,

与题意2<x＝<m不合,舍去.④

故由①②③④，满足条件的只有一个值：.

这时四边形OABC的面积＝＝.

(2)解法二：

∵抛物线y＝ax＋bx＋c经过点O(0，0)，C(m ，0)

∴c＝0，b＝－am，

∴抛物线为y＝ax－amx，顶点坐标P为(，－am²).

∵m＞1，∴＞0，且≠m，

∴P不在边OA上且不与C重合.

∵P在双曲线y＝上，∴×(－ am²)＝即a＝－ .

.①当1＜m≤2时，＜≤1，如图2,分别过B，P作x轴的垂线，M，N为垂足，

此时点P在线段AB上，且纵坐标为2，

∴－am²＝2，即a＝－.

而a＝－ ，∴－ ＝－，m＝＞2，而1＜m≤2，不合题意，舍去.

②当m≥2时，＞1，如图3,分别过B，P作x轴的垂线，M，N为垂足，ON＞OM，

此时点P在线段CB上，易证Rt△BMC∽Rt△PNC，

∴BM∶PN＝MC∶NC，即:  2∶PN＝(m－1)∶，∴PN＝

而P的纵坐标为－ am²，∴＝－ am²，即a＝

而a＝－，∴－ ＝

化简得：5m²－22m＋22＝0.解得：m＝ ，

但m≥2，所以m＝舍去，

取m ＝ .

由以上,这时四边形OABC的面积为：

(AB＋OC) ×OA＝(1＋m) ×2＝