Question

19．在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、AD边上一点，∠DFC=2∠FCE．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，∠DFC=60°，BE=4，则AF=$4\sqrt{3}-4$．
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠A=120°，∠DFC=90°，BE=4，求$\frac{AF}{AE}$的值．
（3）如图3，若四边形ABCD是矩形，点E是AB的中点，CE=12，CF=13，求$\frac{AF}{AE}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据含30°的直角三角形的性质解答即可；
（2）过E作EG⊥BC，利用含30°的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质进行解答即可；
（3）延长FE交CB延长线于点M，再利用相似三角形的性质和勾股定理进行解答．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∠DFC=60°，
∴∠DCF=30°，
∵∠DFC=2∠FCE，
∴∠FCE=∠ECB=30°，
∴BC=4$\sqrt{3}$，
∴DF=4，
∴AF=$4\sqrt{3}-4$；
故答案为：$4\sqrt{3}-4$；
（2）过E作EG⊥BC，如图1：

∵∠DFC=90°，∠DFC=2∠FCE，
∴∠FCE=∠BCE=45°，
∵∠A=120°，
∴∠B=60°，
∴BG=2，EG=$2\sqrt{3}$，
∴GC=EG=$2\sqrt{3}$，
∴BC=CD=AB=AD=$2+2\sqrt{3}$，
∴DF=$\frac{1}{2}AD$=1+$\sqrt{3}$，
∴AF=1+$\sqrt{3}$，
∴AE=AB-BE=2+2$\sqrt{3}$-4=2$\sqrt{3}$-2，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-2}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$；
（3）延长FE交CB延长线于点M，如图2：

在△AFE与△BME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBM=∠EAF=90°}\\{EB=AE}\\{∠BEM=∠AEF}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△BME（ASA），
∴BM=AF，ME=EF，
∵∠DFC=2∠FCE，
∴CE是∠FCB的角平分线，
∴CM=CF=13，
在Rt△MEC中，ME=$\sqrt{M{C}^{2}-C{E}^{2}}=\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}=5$，
∵∠EMB=∠EMB，∠EBM=∠EBC=90°，
∴△EMB∽△EMC，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{BM}{BE}=\frac{ME}{CE}=\frac{5}{12}$．

点评 此题考查四边形综合题，关键是根据全等三角形和相似三角形的判定和性质进行分析．