Question

14．分别以△ABC的二边AC，BC为边向三角形外側作正方形ACDE和正方形BCFG，记△ABC，△DCF的面积分别为S₁和S₂．

①如图1，当∠ACB=90°时，求证：S₁=S₂；
②如图2，当∠ACB=90°时．S₁与S₂是否仍然相等，请说明理由．

Answer 1

分析 ①由四边形ACDE和BCFG是正方形，得到AC=CD，BC=CF，∠ACD=∠BCF=90°，由于∠ACB=90°，得到∠DCF=∠ACB=90°，推出△ABC≌△DCF，于是得到结论；
②S₁与S₂仍然相等，理由：过D作DM⊥FC于M，过A作AN⊥BC于N，通过辅助线的作法得到∠MDCC=∠ANC=90°，由于∠DCA=∠BCF=90°，得到∠DCM=∠ACN=90°-∠MCA推出△DCM≌△CAN，得到DM=AN，通过三角形的面积公式得到结果．

解答 解：①∵四边形ACDE和BCFG是正方形，
∴AC=CD，BC=CF，∠ACD=∠BCF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCF=∠ACB=90°，
在△ABC与△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠DCF=∠ACB}\\{BC=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DCF，
∴S₁=S₂；

②S₁与S₂仍然相等，理由：过D作DM⊥FC于M，过A作AN⊥BC于N，
∴∠MDC=∠ANC=90°，
∵∠DCA=∠BCF=90°，
∴∠DCM=∠ACN=90°-∠MCA，
在△DCM与△CAN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DCM=∠ACN}\\{∠DMC=∠ANC}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△DCM≌△CAN，
∴DM=AN，
∴$\frac{1}{2}CF•DM=\frac{1}{2}CB•AN$，
∴S₁=S₂．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．