Question

4．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过B作BF∥DE，交⊙O于点F，过F点作FH∥AC交BC的延长线于点H．
（1）求证：DE=DC；
（2）求∠BOF的度数；
（3）求证：FH与⊙O相切．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC知∠ABC=∠ACB，而∠DEC=∠ABC，即可得答案；
（2）由∠BAC=45°得∠ABC=∠ACB=67.5°，在△DEC中，由DE=DC知∠EDC=45°，再由BF∥DE得∠FBC=∠EDC=45°，从而得出∠OBF度数，最后根据OB=OF可得；
（3）由（2）知∠FBH及∠OFB的度数，根据FH∥AC可得∠H的度数，再△BFH中可得∠BFH度数，继而知∠OFH=90°，即可得证．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠DEC=∠ABC，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC；

（2）∵∠BAC=45°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∵DE=DC，
∴∠EDC=45°，
∵BF∥DE，
∴∠FBC=∠EDC=45°，
∴∠OBF=∠ABC-∠FBC=22.5°，
又∵OB=OF，
∴∠BOF=135°；

（3）∵FH∥AC，
∴∠H=∠ACB=67.5°，
又∵∠FBC=45°，
∴∠BFH=67.5°，
∵OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB=22.5°，
∴∠OFH=∠OFB+∠BFH=90°，即OF⊥FH，且OF为⊙O的半径，
∴FH与⊙O相切．

点评 本题主要考查等腰三角形的性质、圆内接四边形性质、平行线的性质及切线的判定，熟练掌握并灵活运用性质是解题的关键．