Question

16．如图，在平面直角坐标系中，点A是y轴上的一点，点B与点C在x轴上且关于原点对称，若点A（0，3），点B（-4，0）．
（1）在图中画出△ABC并求出△ABC三边的长；
（2）一动点P以1cm/s的速度从点B向点C运动（P点不运动到C点），设点P运动的时间为t（单位：s）．
①写出△APC的面积S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；
②当t为何值时，△APB为等腰三角形？并写出此时点P的坐标；
③当t为何值时PA与△ABC的一腰垂直？

Answer 1

分析 （1）根据对称性质求出点C坐标，利用勾股定理求出AB、AC，即可解决问题．
（2））①根据S_△APC=$\frac{1}{2}$×PC×AO即可解决问题，0≤t＜8．
②分三种情形①PB=PA，设PB=PA=x，列出方程即可解决．②BP=BA=5时，求出OP即可解决问题，③AB=AP时，不符合题意．
③如图所示，当PA⊥AC时，先求出直线AC的解析式，再求出直线直线PA的解析式即可解决问题．再根据对称性求出P′A⊥AB时，BP的值即可．

解答 解：（1）△ABC如图所示，
∵B、C关于原点对称，B（-4，0），
∴点C坐标（4，0），∵A（0，3），
∴AB=AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，BC=OB+OC=8．

（2）①S_△APC=$\frac{1}{2}$×PC×AO=$\frac{1}{2}$×（8-t）×3=-$\frac{3}{2}$t+4（0≤t＜8）．

②当PA=PB时，设PA=PB=x，在Rt△APO中，∵AP²=OA²+OP²，
∴x²=3²+（4-x）²，
∴x=$\frac{25}{8}$，
此时OP=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$，
∴点P坐标（-$\frac{7}{8}$，0）．
当BA=BP时，BA=BP=5，此时OP=1，
∴点P坐标（1，0）．
∵点P与点C不重合，
∴AB≠AP，
综上所述，△APB为等腰三角形时，点P的坐标为（-$\frac{7}{8}$，0）和（1，0）．

③如图所示，当PA⊥AC时，
∵直线AC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∴可得直线PA的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+3，
令y=0，得x=-$\frac{9}{4}$．，
∴OP=$\frac{9}{4}$，
∴PB=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∴t=$\frac{7}{4}$．
当P′A⊥AB时，根据对称性，可得OP′=OP=$\frac{9}{4}$，
∴BP′=4+$\frac{9}{4}$=$\frac{25}{4}$，
∴t=$\frac{25}{4}$，
综上所述，t=$\frac{7}{4}$或$\frac{25}{4}$时，时PA与△ABC的一腰垂直．

点评 本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、两条直线垂直k₁•k₂=-1等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考压轴题．