Question

9．定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组．如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为（3×6）能被（3+6）整除；又如（15，30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（15×30）能被（15+30）整除，（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除…
（1）我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n（n-1）（n≥2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想．
（2）若（3a，4a，5a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a．

Answer 1

分析 （1）根据祖冲之数组的定义，即可解决问题．
（2）首先根据定义判断出a是7，8，9的倍数，由此即可解决问题．

解答 （1）∵n•n（n-1）=n²（n-1），而n+n（n-1）=n²
且：n²（n-1）能被n²整除，
∴n和n（n-1）（n≥2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组．

（2）∵（3a，4a，5a）是三个数的祖冲之数组，
∴$\frac{3a•4a}{7a}$=$\frac{12}{7}a$，$\frac{3a•5a}{8a}$=$\frac{15}{8}a$，$\frac{4a•5a}{9a}$=$\frac{20}{9}$a都是整数，
∴a是7，8，9的倍数，
∴满足条件的所有三位正整数a为504．

点评 本题主要考查数字的变化规律，解决本题的关键是弄清、理解并运用新定义．