Question

19．如图1，在?ABCD中，∠BCD的平分线交直线AD于点F，∠BAD的平分线交DC延长线于E．，交线段BC与H点．

（1）证明：四边形AHCF是平行四边形；
（2）证明：AF=EC；
（3）若∠BAD=90°，G为CF的中点（如图2），判断△BEG的形状，并证明；
（4）在（3）的条件上，若已知AB=6，BC=7，试求△BEG的面积．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出，∠BAD=∠BCD，BC∥AD，证出∠1=∠2，再证出∠2=∠3，得出AE∥CF，即可得出结论；
（2）由四边形AHCF是平行四边形，得出AF=CH，再证出CH=EC，即可得出AF=EC；
（3）连接AG，过G作GN∥BC交AB于N，先证四边形ABCD是矩形，得出∠GNB=90°，BC∥GN∥AD，再证出NG是AB的垂直平分线，得出BG=AG，得出∠BGN=∠AGN，然后证明△AFG≌△ECG，得出AG=EG=BG，∠EGC=∠AGF，∠GAF=∠GEC，再证出∠BGE=90°，即可得出结论；
（4）作GM⊥AD于M，则GM∥CD，由矩形的性质得出∠D=∠BCD=90°，CD=AB，AD=BC，再证出△DCF、△MGF是等腰直角三角形，得出FD=CD=6，GM=FM，证明GM为△DCF的中位线，得出FM=GM═DM=$\frac{1}{2}$CD=3，求出AM，由勾股定理求出AG，得出BG、EG，即可求出△BEG的面积．

解答 （1）证明：如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，BC∥AD，
∴∠1=∠2，
∵CF平分∠BCD，AE平分∠BAD，
∴∠1=∠4=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠3=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AE∥CF，
∴四边形AHCF是平行四边形；
（2）证明：∵四边形AHCF是平行四边形，
∴AF=CH，
∵AE∥CF，
∴∠E=∠4，∠5=∠1，
∴∠E=∠5，
∴CH=EC，
∴AF=EC；
（3）解：△BEG是等腰直角三角形；理由如下：
连接AG，过G作GN∥BC交AB于N，如图2所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠CBN=90°，
∴∠GNB=90°，BC∥GN∥AD，
∵G为CF的中点，
∴N为AB中点，
即NG是AB的垂直平分线，
∴BG=AG，
∴∠BGN=∠AGN，
∵NG∥AD，
∴∠AGN=∠GAF=∠BGN，
∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，
∴∠DCF=90°，∠DCF=45°，
∴∠DFC=45°，
∴∠ECG=∠AFC=90°+45°=135°，
在△AFG和△ECG中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CE}\\{∠AFG=∠ECG}\\{FG=CG}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△ECG（SAS），
∴AG=EG=BG，∠EGC=∠AGF，∠GAF=∠GEC，
∵∠AGN=∠GAF=∠BGN，
∴∠AGN=∠GAF=∠BGN=∠GEC，
∵∠GAF+∠AGF=180°-135°=45°，
∴∠EGC+∠BGF=2（∠GAF+∠AGF）=90°，
即∠BGE=90°，
∴△BEG是等腰直角三角形；
（4）作GM⊥AD于M，如图2所示：
则GM∥CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，CD=AB=6，AD=BC=7，
∴∠DCF=45°，
∴∠DFC=45°，
∴△DCF、△MGF是等腰直角三角形，
∴FD=CD=6，GM=FM，
∵G为CF的中点，
∴GM为△DCF的中位线，
∴FM=GM═DM=$\frac{1}{2}$CD=3，
∴AM=7-3=4，
∴AG=$\sqrt{A{M}^{2}+G{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴BG=EG=5，
∴△BEG的面积=$\frac{1}{2}$BG•EG=$\frac{25}{2}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段的垂直平分线、三角形中位线定理、勾股定理等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）（4）中，需要通过作辅助线证明三角形全等和等腰直角三角形才能得出结论．