Question

14．观察下列各个等式的规律：
第一个等式：$\frac{{{2^2}-{1^2}-1}}{2}$=1，第二个等式：$\frac{{{3^2}-{2^2}-1}}{2}$=2，第三个等式：$\frac{{{4^2}-{3^2}-1}}{2}$=3…
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
（1）直接写出第四个等式；
（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．

Answer 1

分析 （1）根据题目中的式子的变化规律可以写出第四个等式；
（2）根据题目中的式子的变化规律可以猜想出第n个等式并加以证明．

解答 解：（1）由题目中式子的变化规律可得，
第四个等式是：$\frac{{5}^{2}-{4}^{2}-1}{2}=4$；
（2）第n个等式是：$\frac{（n+1）^{2}-{n}^{2}-1}{2}=n$，
证明：∵$\frac{（n+1）^{2}-{n}^{2}-1}{2}$
=$\frac{[（n+1）+n][（n+1）-n]-1}{2}$
=$\frac{2n+1-1}{2}$
=$\frac{2n}{2}$
=n，
∴第n个等式是：$\frac{（n+1）^{2}-{n}^{2}-1}{2}=n$．

点评 本题考查规律型：数字的变化类，解答本题的关键是明确题目中式子的变化规律，求出相应的式子．