Question

14．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物面，经过锅心和盖心的纵断面是由两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”．锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图1所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C₁，把锅盖纵断面的抛物线记为C₂．
（1）求C₁和C₂的解析式；
（2）如图2，过点B作直线BE：y=$\frac{1}{3}$x-1交C₁于点E（-2，-$\frac{5}{3}$），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；
（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C₁或C₂上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意确定A、B、C、D的坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）首先证明∠OBC=∠EOB，因此可能存在两种情形，设P（x，0），①当△PBC∽△OBE时，②当△PBC∽△EBO时，分别求解即可．
（3）要使△EBQ的面积最大，则点Q到直线BE的距离最大时，过点Q的直线与直线BE平行，且与抛物线只有一个交点．①如图1中，当点Q在C₁上时，设与抛物线只有一个交点的直线为y=$\frac{1}{3}$x+b，则点Q（x，$\frac{1}{3}$x+b），代入y=$\frac{1}{3}$x²-3，得到$\frac{1}{3}$x²-3=$\frac{1}{3}$x+b，整理得x²-x-9-3b=0，由△=0，可得1-4（-9-3b）=0，推出b=-$\frac{37}{12}$，可得y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{37}{12}$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{37}{12}}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-3}\end{array}\right.$，求出Q的坐标即可解决问题．②如图2中，当Q在C₂上时，同法可求．

解答 解：（1）由题意A（-3，0），B（3，0），C（0，1），D（0，-3）
设抛物线记为C₂的解析式为y=ax²+c，
把B（3，0），C（0，-1）代入得到$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{9a+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{9}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴抛物线记为C₂的解析式为y=-$\frac{1}{9}$x²+1，
同法可得抛物线记为C₁的解析式为y=$\frac{1}{3}$x²-3．

（2）∵y=$\frac{1}{3}$x-1交C₁于点E（-2，-$\frac{5}{3}$），
∴BE=$\sqrt{（-\frac{5}{3}）^{2}+（2+3）^{2}}$=$\frac{5}{3}$$\sqrt{10}$，
设直线BE与y轴的交点为F，
由y=$\frac{1}{3}$x-1，可得F（0，-1），
∵OF=OC=1，OB=OB，∠BOC=∠BOF，
∴△BOC≌△BOF，
∴∠OBC=∠EOB，
因此可能存在两种情形，设P（x，0），
①当△PBC∽△OBE时，$\frac{PB}{OB}$=$\frac{BC}{BE}$，即$\frac{3-x}{3}$=$\frac{\sqrt{10}}{\frac{5}{3}\sqrt{10}}$，解得x=$\frac{6}{5}$，
∴点P坐标为（$\frac{6}{5}$，0）．
②当△PBC∽△EBO时，$\frac{PB}{EB}$=$\frac{BC}{BO}$，即$\frac{3-x}{\frac{5}{3}\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，解得x=-$\frac{23}{9}$，
∴点P坐标为（-$\frac{23}{9}$，0）．
③∵∠OBC≠∠AOE，
∴不存在点P在点B右侧的情形，
综上所述，满足条件的点P坐标（$\frac{6}{5}$，0）或（-$\frac{23}{9}$，0）．

（3）要使△EBQ的面积最大，则点Q到直线BE的距离最大时，过点Q的直线与直线BE平行，且与抛物线只有一个交点．
①如图1中，当点Q在C₁上时，
设与抛物线只有一个交点的直线为y=$\frac{1}{3}$x+b，则点Q（x，$\frac{1}{3}$x+b），代入y=$\frac{1}{3}$x²-3，得到$\frac{1}{3}$x²-3=$\frac{1}{3}$x+b，整理得x²-x-9-3b=0，
∵△=0，
∴1-4（-9-3b）=0，
∴b=-$\frac{37}{12}$，
∴y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{37}{12}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{37}{12}}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{35}{12}}\end{array}\right.$，
∴Q（$\frac{1}{2}$，-$\frac{35}{12}$），
过Q作x轴的垂线交直线BE于M，
把x=$\frac{1}{2}$代入y=$\frac{1}{3}$x-1，可得M（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{6}$），
∴MQ=-$\frac{5}{6}$-（-$\frac{35}{12}$）=$\frac{25}{12}$，
∴△EBQ面积的最大值为$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{12}$×（2+3）=$\frac{125}{24}$．
②如图2中，当Q在C₂上时，
设与抛物线只有一个交点的直线为y=$\frac{1}{3}$x+b′，则Q（x，$\frac{1}{3}$x+b′），代入y=-$\frac{1}{9}$x²+1，可得x²+3x-9+9b′=0，
∵△=0，
∴9-4（9b′-9）=0，
∴b′=$\frac{5}{4}$，
∴y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{4}$，与y=-$\frac{1}{9}$x²+1联列方程组，解得Q（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$），连接EQ，交x轴于N．
易知直线QE的解析式为y=$\frac{29}{6}$x+8，
∴N（-$\frac{48}{29}$，0），
∴BN=3-（-$\frac{48}{29}$）=$\frac{135}{29}$，
∴△QEB的面积最大值为$\frac{1}{2}$×$\frac{135}{29}$×[$\frac{3}{4}$-（-$\frac{5}{3}$）]=$\frac{135}{24}$=$\frac{45}{8}$，
∵$\frac{45}{8}$＞$\frac{125}{24}$，
∴△EBQ的面积的最大值为$\frac{45}{8}$，此时Q（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是需要用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．