Question

（2010•淮安）（1）观察发现：
如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．
做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．
做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为______

Answer 1

【答案】分析：（1）首先由等边三角形的性质知，CE⊥AB，在直角△BCE中，∠BEC=90°BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE的长度，从而得出结果；
（2）要在直径CD上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于CD的对称点，连接A′B，与CD的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．
（3）画点B关于AC的对称点B′，延长DB′交AC于点P．则点P即为所求．
解答：解：（1）BP+PE的最小值===．

（2）作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，连接OA′，AA′，OB．
∵点A与A′关于CD对称，∠AOD的度数为60°，
∴∠A′OD=∠AOD=60°，PA=PA′，
∵点B是的中点，
∴∠BOD=30°，
∴∠A′OB=∠A′OD+∠BOD=90°，
∵⊙O的直径CD为4，
∴OA=OA′=2，
∴A′B=2．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．

（3）如图d：首先过点B作BB′⊥AC于O，且OB=OB′，
连接DB′并延长交AC于P．
（由AC是BB′的垂直平分线，可得∠APB=∠APD）．
点评：此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．