Question

8．已知，四边形ACBD是圆内接四边形，当AC=BC时
（1）如图1，求证：DC平∠ADB；
（2）如图，当∠ACB=60°时，求证：CD=AD+BD．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据在同圆或等圆中，弦相等则弧相等，则所对的圆周角相等，得结论；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先证明△DEC是等边三角形，再证明△ADC≌△BEC，即可得出结论．

解答 证明：（1）如图1，∵AC=BC，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴∠ADC=∠BDC，
∴DC平分∠ADB；
（2）如图2，延长DB至E，使DE=DC，连接CE，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ADB=120°，
∵DC平分∠ADB，
∴∠BDC=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DC=EC，∠DCE=60°，
∴∠DCB+∠BCE=60°，
∵∠BCD+∠ACD=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△BEC，
∴AD=BE，
∴DC=DE=BD+BE=BD+AD．

点评 本题考查了圆内接四边形和三角形全等的性质和判定，圆内四边形的对角互补，还要熟练掌握全等三角形的判定方法，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形；本题通过延长DB构建△EBC，得两个全等三角形，将AD和BD转化到一条线段上，利用等边三角形得出结论．