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【题目】如图,正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,将BD绕点B逆时针旋转30°到BE所在的位置,BE与AD交于点F,分别连接DE、CE.

(1)求证:DE=DF;
(2)求证:AE∥BD;
(3)求tan∠ACE的值.

【答案】
(1)

证明:∵BD绕点B逆时针旋转30°到BE,

∴∠DBE=30°,BD=BE,

∴∠BDE=∠BED= =75°,

在正方形ABCD中,BD是对角线,

∴∠ADB=45°,

∴∠EDF=75°﹣45°=30°,

在△DEF中,∠DFE=180°﹣∠EDF﹣∠FED=180°﹣30°﹣75°=75°,

∴∠DFE=∠DEF,

∴DE=DF


(2)

证明:过E作EG⊥BD于点G,

∵∠DBE=30°,

∴EG= BE= BD,

在正方形ABCD中,AC、BD是对角线,

∴AC=BD,OA= AC= BD,AC⊥BD,

∴EG=OA,且EG∥OA,

∴四边形AOGE是平行四边形,

∵∠AOD=90°,

∴四边形AOGE是矩形,

∴AE∥BD:


(3)

设EG=x,则BE=BD=AC=2EG=2x,

Rt△BEG中,BG= = x,

∴OG=BG﹣BO=( ﹣1)x,

在矩形AOGE中,∠EAO=90°

∴AE=OG=( ﹣1)x,

∴tan∠ACE= =


【解析】(1)先根据旋转的性质得∠DBE=30°,BD=BE,求∠BDE=∠BED=75°,则∠EDF=75°﹣45°=30°,根据三角形的内角和得:∠DFE=75°,所以∠DFE=∠DEF,由等角对等边得结论;(2)如图所示,作辅助线,构建直角三角形,根据直角三角形30°角的性质得:EG= BE= BD,由正方形的性质得:AC=BD,OA= AC= BD,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AOGE是平行四边形,则AE∥BD;(3)证明四边形AOGE是矩形,设EG=x,由勾股定理得:BG= = x,由矩形AOGE可知:∠EAO=90°,计算tan∠ACE的值即可.
【考点精析】利用三角形三边关系和正方形的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知三角形两边之和大于第三边;三角形两边之差小于第三边;不符合定理的三条线段,不能组成三角形的三边;正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

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A.
B.
C.
D.

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解:

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