Question

12．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于点C、D两点．
（1）试说明线段AC与BD的大小关系；
（2）若AB=8cm，CD=4cm，那么圆环（阴影部分）的面积为多少？

Answer 1

分析 （1）首先过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理可证得AE=BE，CE=DE，继而可得AC=BD；
（2）首先连接OA，OC，由勾股定理可得：OE²=OA²-AE²，OE²=OC²-CE²，继而可得OA²-OC²=12，则可求得圆环的面积．

解答 证明：过圆心O作OE⊥AB于点E，
在大圆O中，OE⊥AB，
∴AE=BE．
在小圆O中，OE⊥CD，
∴CE=DE．
∴AE-CE=BE-DE．
∴AC=BD．
（2）连接OA，OC，
在Rt△AOE与Rt△OCE中：OE²=OA²-AE²，OE²=OC²-CE²，
∴OA²-AE²=OC²-CE²，
∴OA²-OC²=AE²-CE²，
∵AB=8，CD=4，
∴AE=4，CE=2，
∴OA²-OC²=12，
∴圆环的面积为：πOA²-πOC²=π（OA²-OC²）=12π．

点评 此题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．