Question

如图，点P是反比例函数y=（k＜0）图象上的点，PA垂直x轴于点A（-1，0），点C的坐标为（1，0），PC交y轴于点B，连结AB，已知AB=．
（1）k的值是______；
（2）若M（a，b）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA＜∠ABC，则a的取值范围是______．

Answer 1

解：（1）如图，PA垂直x轴于点A（-1，0），
∴OA=1，可设P（-1，t）．
又∵AB=，
∴OB===2，
∴B（0，2）．
又∵点C的坐标为（1，0），
∴直线BC的解析式是：y=-2x+2．
∵点P在直线BC上，
∴t=2+2=4
∴点P的坐标是（-1，4），
∴k=-4．
故填：-4；

（2）①如图1，延长线段BC交双曲线于点M．
由（1）知，直线BC的解析式是y=-2x+2，反比例函数的解析式是y=-．
则，
解得，或（不合题意，舍去）．
根据图示知，当0＜a＜2时，∠MBA＜∠ABC；
②如图，过点C作直线AB的对称点C′，连接BC′并延长BC′交双曲线于点M′．
∵A（-1，0），B（0，2），
∴直线AB的解析式为：y=2x+2．
∵C（1，0），
∴C′（-，），则易求直线BC′的解析式为：y=x+2，
∴，
解得：x=或x=，
则根据图示知，当＜a＜时，∠MBA＜∠ABC．
综合①②知，当0＜a＜2或＜a＜时，∠MBA＜∠ABC．
故答案是：0＜a＜2或＜a＜．
分析：（1）设P（-1，t）．根据题意知，A（-1，0），B（0，2），C（1，0），由此易求直线BC的解析式y=-2x+2．把点P的坐标代入直线BC的解析式可以求得点P的坐标，由反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k的值；
（2）如图，延长线段BC交抛物线于点M，由图可知，当x＜a时，∠MBA＜∠ABC；过点C作直线AB的对称点C′，连接BC′并延长BC′交双曲线于点M′，当x＜a时，∠MBA＜∠ABC．
点评：本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及分式方程组的解法．解答（2）题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，解题的过程中，利用了“数形结合”的数学思想．