Question

如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，BD平分∠ABC，DE⊥BE，DE交BC的延长线于点E
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果CE=1，AC=2，求⊙O的半径r．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，
∴∠ODB=∠DBE，
∴OD∥BE，
∵DE⊥BE，∴OD⊥DE；
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：设OD交AC于点M，
∵OD⊥AC，OD∥BC，OA=OB，
∴AM=CM，
即AM=AC，
∴△AOM是直角三角形，四边形DMCE为矩形，
∴DM=CE=1，OM=r-1，OA=r，
∵CE=1，AC=2，在Rt△AOM中，由勾股定理，得
∴r²-（r-1）²=（）²，
解得r=4，
答：⊙O的半径r为4．
分析：（1）连接OD，则∠OBD=∠ODB，再由∠ABD=∠DBE，可得出∠ODB=∠DBE，则OD∥BE，从而得出OD⊥DE；
（2）由OD⊥AC，则OD平分AC，设OD交AC于点M，则△AOM是直角三角形，四边形DMCE为矩形，则DM=CE=1，OM=r-1，AM=AC，OA=r，用勾股定理即可解得r．
点评：本题考查了切线的判定和性质、垂径定理和勾股定理，是基础知识要熟练掌握．