Question

如图，已知PA平分∠CAB，PC平分∠ACD，AB∥CD．求证：AP⊥PC．

Answer 1

分析：先根据平行线的性质求出∠CAB+∠ACD的度数，再根据角平分线的性质求出∠PAC+∠PCA的度数，由三角形的内角和定理解答即可．

解答：证明：∵PA平分∠CAB，PC平分∠ACD，
∴∠PAC=

1

2

∠CAB，∠PCA=

1

2

∠ACD
∴∠PAC+∠PCA=

1

2

∠CAB+

1

2

∠ACD=

1

2

（∠CAB+∠ACD）
∵AB∥CD
∴∠CAB+∠ACD=180°
∴∠PAC+∠PCA=90°
∵△ACP中，∠PAC+∠PCA+∠P=180°
∴∠P=90°
∴AP⊥PC．

点评：考查平行线的性质及三角形内角和定理．两直线平行，同旁内角互补．角的等量代换的运用是正确解答本题的关键．