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【题目】如图,已知抛物线与坐标轴分别交于点A(0,8)、B(8,0)和点E,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动,动点C、D同时出发,当动点D到达原点O时,点C、D停止运动.

(1)直接写出抛物线的解析式:

(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时,△CED的面积最大?最大面积是多少?

(3)当△CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P(点E除外),使△PCD的面积等于△CED的最大面积?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2)当t=5时,S最大=;(3)存在,P()或P(8,0)或P().

【解析】

试题分析:(1)将点A、B代入抛物线即可求出抛物线的解析式;

(2)根据题意得:当D点运动t秒时,BD=t,OC=t,然后由点A(0,8)、B(8,0),可得OA=8,OB=8,从而可得OD=8﹣t,然后令y=0,求出点E的坐标为(﹣2,0),进而可得OE=2,DE=2+8﹣t=10﹣t,然后利用三角形的面积公式即可求CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为:,然后转化为顶点式即可求出最值为:S最大=

(3)由(2)知:当t=5时,S最大=,进而可知:当t=5时,OC=5,OD=3,进而可得CD=,从而确定C,D的坐标,即可求出直线CD的解析式,然后过E点作EFCD,交抛物线与点P,然后求出直线EF的解析式,与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点P的坐标,然后利用面积法求出点E到CD的距离,过点D作DNCD,垂足为N,且使DN等于点E到CD的距离,然后求出N的坐标,过点N作NHCD,与抛物线交与点P,然后求出直线NH的解析式,与抛物线联立方程组求解即可得到其中的另两个点P的坐标.

试题解析:(1)将点A(0,8)、B(8,0)代入抛物线y=﹣x2+bx+c得:,解得:b=3,c=8,抛物线的解析式为:,故答案为:

(2)点A(0,8)、B(8,0),OA=8,OB=8,令y=0,得:,解得:点E在x轴的负半轴上,点E(﹣2,0),OE=2,根据题意得:当D点运动t秒时,BD=t,OC=t,OD=8﹣t,DE=OE+OD=10﹣t,S=DEOC=(10﹣t)t=,即=当t=5时,S最大=

(3)由(2)知:当t=5时,S最大=当t=5时,OC=5,OD=3,C(0,5),D(3,0),由勾股定理得:CD=,设直线CD的解析式为:,将C(0,5),D(3,0),代入上式得:k=,b=5,直线CD的解析式为:,过E点作EFCD,交抛物线与点P,如图1,

设直线EF的解析式为:,将E(﹣2,0)代入得:b=直线EF的解析式为:,将,与联立成方程组得:,解得:P();

过点E作EGCD,垂足为G,当t=5时,SECD=CDEG=EG=,过点D作DNCD,垂足为N,且使DN=,过点N作NMx轴,垂足为M,如图2,

可得EGD∽△DMN,EGDN=EDDM,即:DM==OM=,由勾股定理得:MN==N(),过点N作NHCD,与抛物线交与点P,如图2,设直线NH的解析式为:,将N(),代入上式得:b=直线NH的解析式为:,将,与联立成方程组得:,解得:P(8,0)或P(),

综上所述:当CED的面积最大时,在抛物线上存在点P(点E除外),使PCD的面积等于CED的最大面积,点P的坐标为:P()或P(8,0)或P().

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