试题分析:(1)只需先求出AC中点P的坐标,然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式.
(2)由于△DOM与△ABC相似,对应关系不确定,可分两种情况进行讨论,利用三角形相似求出OM的长,即可求出点M的坐标.
(3)易证S
△PED=S
△PFD.从而有S
四边形DEPF=2S
△PED=
DE.由∠DEP=90°得DE
2=DP
2﹣PE
2=DP
2﹣
.根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:当DP⊥AC时,DP最短,此时DE也最短,对应的四边形DEPF的面积最小.借助于三角形相似,即可求出DP⊥AC时DP的值,就可求出四边形DEPF面积的最小值.
解:(1)过点P作PH∥OA,交OC于点H,如图1所示.
∵PH∥OA,
∴△CHP∽△COA.
∴
=
=
.
∵点P是AC中点,
∴CP=
CA.
∴HP=
OA,CH=
CO.
∵A(3,0)、C(0,4),
∴OA=3,OC=4.
∴HP=
,CH=2.
∴OH=2.
∵PH∥OA,∠COA=90°,
∴∠CHP=∠COA=90°.
∴点P的坐标为(
,2).
设直线DP的解析式为y=kx+b,
∵D(0,﹣5),P(
,2)在直线DP上,
∴
∴
∴直线DP的解析式为y=
x﹣5.
(2)①若△DOM∽△ABC,图2(1)所示,
∵△DOM∽△ABC,
∴
=
.
∵点B坐标为(3,4),点D的坐标为(0.﹣5),
∴BC=3,AB=4,OD=5.
∴
=
.
∴OM=
.
∵点M在x轴的正半轴上,
∴点M的坐标为(
,0)
②若△DOM∽△CBA,如图2(2)所示,
∵△DOM∽△CBA,
∴
=
.
∵BC=3,AB=4,OD=5,
∴
=
.
∴OM=
.
∵点M在x轴的正半轴上,
∴点M的坐标为(
,0).
综上所述:若△DOM与△CBA相似,则点M的坐标为(
,0)或(
,0).
(3)∵OA=3,OC=4,∠AOC=90°,
∴AC=5.
∴PE=PF=
AC=
.
∵DE、DF都与⊙P相切,
∴DE=DF,∠DEP=∠DFP=90°.
∴S
△PED=S
△PFD.
∴S
四边形DEPF=2S
△PED=2×
PE•DE=PE•DE=
DE.
∵∠DEP=90°,
∴DE
2=DP
2﹣PE
2.=DP
2﹣
.
根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:
当DP⊥AC时,DP最短,
此时DE取到最小值,四边形DEPF的面积最小.
∵DP⊥AC,
∴∠DPC=90°.
∴∠AOC=∠DPC.
∵∠OCA=∠PCD,∠AOC=∠DPC,
∴△AOC∽△DPC.
∴
=
.
∵AO=3,AC=5,DC=4﹣(﹣5)=9,
∴
=
.
∴DP=
.
∴DE
2=DP
2﹣
=(
)
2﹣
=
.
∴DE=
,
∴S
四边形DEPF=
DE=
.
∴四边形DEPF面积的最小值为
.