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【题目】已知二次函数y=ax2+bx﹣2的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(4,0),且当x=﹣2和x=5时二次函数的函数值y相等.

(1)求实数a、b的值;
(2)如图1,动点E、F同时从A点出发,其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动,点F以每秒 个单位长度的速度沿射线AC方向运动.当点E停止运动时,点F随之停止运动.设运动时间为t秒.连接EF,将△AEF沿EF翻折,使点A落在点D处,得到△DEF.
①是否存在某一时刻t,使得△DCF为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式;

【答案】
(1)

解:由题意得

解得:a= ,b=﹣


(2)

解:①由(1)知二次函数为y= x2 x﹣2

∵A(4,0),∴B(﹣1,0),C(0,﹣2)

∴OA=4,OB=1,OC=2

∴AB=5,AC=2 ,BC=

∴AC2+BC2=25=AB2

∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°

∵AE=2t,AF= t,∴ =

又∵∠EAF=∠CAB,∴△AEF∽△ACB

∴∠AEF=∠ACB=90°

∴△AEF沿EF翻折后,点A落在x轴上点D处;

由翻折知,DE=AE,∴AD=2AE=4t,EF= AE=t

假设△DCF为直角三角形

当点F在线段AC上时

(i)若C为直角顶点,则点D与点B重合,如图2

∴AE= AB=

t= ÷2=

(ii)若D为直角顶点,如图3

∵∠CDF=90°,∴∠ODC+∠EDF=90°

∵∠EDF=∠EAF,∴∠OBC+∠EAF=90°

∴∠ODC=∠OBC,∴BC=DC

∵OC⊥BD,∴OD=OB=1

∴AD=3,∴AE=

∴t=

当点F在AC延长线上时,∠DFC>90°,△DCF为钝角三角形

综上所述,存在时刻t,使得△DCF为直角三角形,t= 或t=

②(i)当0<t≤ 时,重叠部分为△DEF,如图1、图2

∴S= ×2t×t=t2

(ii)当 <t≤2时,设DF与BC相交于点G,则重叠部分为四边形BEFG,如图4

过点G作GH⊥BE于H,设GH=a

则BH= ,DH=2a,∴DB=

∵DB=AD﹣AB=4t﹣5

=4t﹣5,∴a= (4t﹣5)

∴S=SDEF﹣SDBG= ×2t×t﹣ (4t﹣5)× (4t﹣5)=﹣ t2+ t﹣

(iii)当2<t≤ 时,重叠部分为△BEG,如图5

∵BE=DE﹣DB=2t﹣(4t﹣5)=5﹣2t,GE=2BE=2(5﹣2t)

∴S= ×(5﹣2t)×2(5﹣2t)=4t2﹣20t+25.


【解析】(1)根据抛物线图象经过点A以及“当x=﹣2和x=5时二次函数的函数值y相等”两个条件,列出方程组求出待定系数的值.(2)①首先由抛物线解析式能得到点A、B、C三点的坐标,则线段OA、OB、OC的长可求,进一步能得出AB、BC、AC的长;首先用t 表示出线段AD、AE、AF(即DF)的长,则根据AE、EF、OA、OC的长以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似,那么△AEF也是一个直角三角形,及∠AEF是直角;若△DCF是直角,可分成三种情况讨论:1、点C为直角顶点,由于△ABC恰好是直角三角形,且以点C为直角顶点,所以此时点B、D重合,由此得到AD的长,进而求出t的值;2、点D为直角顶点,此时∠CDB与∠CBD恰好是等角的余角,由此可证得OB=OD,再得到AD的长后可求出t的值;3、点F为直角顶点,当点F在线段AC上时,∠DFC是锐角,而点F在射线AC的延长线上时,∠DFC又是钝角,所以这种情况不符合题意.②此题需要分三种情况讨论:1、当点E在点A与线段AB中点之间时,两个三角形的重叠部分是整个△DEF;2、当点E在线段AB中点与点O之间时,重叠部分是个不规则四边形,那么其面积可由大直角三角形与小钝角三角形的面积差求得;3、当点E在线段OB上时,重叠部分是个小直角三角形.

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