Question

（2012•攀枝花）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=

4

5

．
（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）记直线AB的解析式为y₁=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y₂=ax²+bx+c，求当y₁＜y₂时，自变量x的取值范围；
（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由菱形ABCD的边长和一角的正弦值，可求出OC、OD、OA的长，进而确定A、C、D三点坐标，通过待定系数法可求出抛物线的解析式．
（2）首先由A、B的坐标确定直线AB的解析式，然后求出直线AB与抛物线解析式的两个交点，然后通过观察图象找出直线y₁在抛物线y₂图象下方的部分．
（3）该题的关键点是确定点P的位置，△APE的面积最大，那么S_△APE=

1

2

AE×h中h的值最大，即点P离直线AE的距离最远，那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=

4

5

；
Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；
OA=AD-OD=2，即：
A（-2，0）、B（-5，4）、C（0，4）、D（3，0）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-3），得：
2×（-3）a=4，a=-

2

3

；
∴抛物线：y=-

2

3

x²+

2

3

x+4．

（2）由A（-2，0）、B（-5，4）得直线AB：y₁=-

4

3

x-

8

3

；
由（1）得：y₂=-

2

3

x²+

2

3

x+4，则：

y=- 4 3 x- 8 3   y=- 2 3 x2+ 2 3 x+4

，
解得：

x1=-2 y1=0

，

x2=5 y2=- 28 3

；
由图可知：当y₁＜y₂时，-2＜x＜5．

（3）∵S_△APE=

1

2

AE•h，
∴当P到直线AB的距离最远时，S_△APE最大；
若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；
设直线L：y=-

4

3

x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，
-

4

3

x+b=-

2

3

x²+

2

3

x+4，且△=0；
求得：b=

11

2

，即直线L：y=-

4

3

x+

11

2

；
可得点P（

3

2

，

7

2

）．
由（2）得：E（5，-

28

3

），则直线PE：y=-

11

3

x+9；
则点F（

27

11

，0），AF=OA+OF=

49

11

；
∴△PAE的最大值：S_△PAE=S_△PAF+S_△AEF=

1

2

×

49

11

×（

28

3

+

7

2

）=

343

12

．
综上所述，当P（

3

2

，

7

2

）时，△PAE的面积最大，为

343

12

．

点评：该题考查的是函数的动点问题，其中综合了特殊四边形、图形面积的求法等知识，找出动点问题中的关键点位置是解答此类问题的大致思路．