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(2012•攀枝花)如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD是菱形,顶点A、C、D均在坐标轴上,且AB=5,sinB=
45

(1)求过A、C、D三点的抛物线的解析式;
(2)记直线AB的解析式为y1=mx+n,(1)中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c,求当y1<y2时,自变量x的取值范围;
(3)设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为E,P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点,当P点在何处时,△PAE的面积最大?并求出面积的最大值.
分析:(1)由菱形ABCD的边长和一角的正弦值,可求出OC、OD、OA的长,进而确定A、C、D三点坐标,通过待定系数法可求出抛物线的解析式.
(2)首先由A、B的坐标确定直线AB的解析式,然后求出直线AB与抛物线解析式的两个交点,然后通过观察图象找出直线y1在抛物线y2图象下方的部分.
(3)该题的关键点是确定点P的位置,△APE的面积最大,那么S△APE=
1
2
AE×h中h的值最大,即点P离直线AE的距离最远,那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点.
解答:解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD=CD=BC=5,sinB=sinD=
4
5

Rt△OCD中,OC=CD•sinD=4,OD=3;
OA=AD-OD=2,即:
A(-2,0)、B(-5,4)、C(0,4)、D(3,0);
设抛物线的解析式为:y=a(x+2)(x-3),得:
2×(-3)a=4,a=-
2
3

∴抛物线:y=-
2
3
x2+
2
3
x+4.

(2)由A(-2,0)、B(-5,4)得直线AB:y1=-
4
3
x-
8
3

由(1)得:y2=-
2
3
x2+
2
3
x+4,则:
y=-
4
3
x-
8
3
 
y=-
2
3
x2+
2
3
x+4 

解得:
x1=-2
y1=0
x2=5
y2=-
28
3

由图可知:当y1<y2时,-2<x<5.

(3)∵S△APE=
1
2
AE•h,
∴当P到直线AB的距离最远时,S△APE最大;
若设直线L∥AB,则直线L与抛物线有且只有一个交点时,该交点为点P;
设直线L:y=-
4
3
x+b,当直线L与抛物线有且只有一个交点时,
-
4
3
x+b=-
2
3
x2+
2
3
x+4,且△=0;
求得:b=
11
2
,即直线L:y=-
4
3
x+
11
2

可得点P(
3
2
7
2
).
由(2)得:E(5,-
28
3
),则直线PE:y=-
11
3
x+9;
则点F(
27
11
,0),AF=OA+OF=
49
11

∴△PAE的最大值:S△PAE=S△PAF+S△AEF=
1
2
×
49
11
×(
28
3
+
7
2
)=
343
12

综上所述,当P(
3
2
7
2
)时,△PAE的面积最大,为
343
12
点评:该题考查的是函数的动点问题,其中综合了特殊四边形、图形面积的求法等知识,找出动点问题中的关键点位置是解答此类问题的大致思路.
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3
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