Question

【题目】已知A（0，2），B（4，0）．
（1）如图1，连接AB，若D（0，﹣6），DE⊥AB于点E，B、C关于y轴对称，M是线段DE上的一点，且DM=AB，连接AM，试判断线段AC与AM之间的位置和数量关系，并证明你的结论；

（2）如图2，在（1）的条件下，若N是线段DM上的一个动点，P是MA延长线上的一点，且DN=AP，连接PN交y轴于点Q，过点N作NH⊥y轴于点H，当N点在线段DM上运动时，△MQH的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：结论：AC=AM，AC⊥AM．理由如下：

∵A（0，2），B（4，0）D（0，﹣6），

∴OA=2，OD=6，OB=4，

∵AD=OA+OD=8，BC=2OB=8，

∴AD=BC，

在△CAB与△AMD中，

，

∴△CAB≌△AMD，

∴AC=AM，∠ACO=∠MAD，

∵∠ACO+∠CAO=90°，

∴∠MAD+∠CAO=∠MAC=90°，

∴AC=AM，AC⊥AM

（2）

解：是定值，定值为4．理由如下：

如图3

过P作PG⊥y轴于G，

在△PAG与△HND中，

，

∴△PAG≌△HND，

∴PG=HN，AG=HD，

∴AD=GH=8，

在△PQG与△NHQ中，

，

∴△PQG≌△NHQ，

∴QG=QH= GH=4，

∴S△MQH= ×4×2=4．

【解析】（1）结论：AC=AM，AC⊥AM．由已知条件得到AD=BC，推出△CAB≌△AMD，根据全等三角形的性质得到AC=AM，∠ACO=∠MAD，由于∠ACO+∠CAO=90°，得到∠MAD+∠CAO=∠MAC=90°即可得到结论；（2）过P作PG⊥y轴于G，证得△PAG≌△HND，根据全等三角形的性质得到PG=HN，AG=HD，证得△PQG≌△NHQ，得到QG=QH= GH=4即可得到结论．