【题目】如图,点A、B、C、D均在⊙O上,FB与⊙O相切于点B,AB与CF交于点G,OA⊥CF于点E,AC∥BF.
(1)求证:FG=FB.
(2)若tan∠F=,⊙O的半径为4,求CD的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)根据等腰三角形的性质,可得∠OAB=∠OBA,根据切线的性质,可得∠FBG+OBA=90°,根据等式的性质,可得∠FGB=∠FBG,根据等腰三角形的判定,可得答案;
(2)根据平行线的性质,可得∠ACF=∠F,根据等角的正切值相等,可得AE,根据勾股定理,可得答案.
(1)证明:∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA,
∵OA⊥CD,
∴∠OAB+∠AGC=90°.
∵FB与⊙O相切,
∴∠FBO=90°,
∴∠FBG+OBA=90°,
∴AGC=∠FBG,
∵∠AGC=∠FGB,
∴∠FGB=∠FBG,
∴FG=FB;
(2)如图
,
设CD=a,
∵OA⊥CD,
∴CE=CD=a.
∵AC∥BF,
∴∠ACF=∠F,
∵tan∠F=,
tan∠ACF==,即,
解得AE=a,
连接OC,OE=4﹣a,
∵CE2+OE2=OC2,
∴(a)2+(4﹣a)2=4,
解得a=,
CD=.
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【题目】在平面直角坐标系中,对于平面内任一点(m,n),规定以下两种变换:
(1)f(m,n)=(m,-n),如f(2,1)=(2,-1);
(2)g(m,n)=(-m,-n),如g(2,1)=(-2,-1).
按照以上变换有:f[g(3,4)]=f(-3,-4)=(-3,4),那么g[f(2,-3)]=______.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,CD⊥AB于点E,交⊙O于点D,OF⊥AC于点F,
且OF=1 .
(1)求BD的长;
(2)当∠D=30°时,求圆中弧AC的长和阴影部分的面积.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, ,CM是斜边AB的中线,将△ACM沿直线CM折叠,点A落在点D处,如果CD恰好与AB垂直,那么∠A=.
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【题目】(1)已知矩形A的长、宽分别是2和1,那么是否存在另一个矩形B,它的周长和面积分别是矩形A的周长和面积的2倍?对上述问题,小明同学从“图形”的角度,利用函数图象给予了解决.小明论证的过程开始是这样的:如果用x、y分别表示矩形的长和宽,那么矩形B满足x+y=6,xy=4.请你按照小明的论证思路完成后面的论证过程.(画图并简单的文字说明)
(2)已知矩形A的长和宽分别是2和1,那么是否存在一个矩形C,它的周长和面积分别是矩形A的周长和面积的一半?小明认为这个问题是肯定的,你同意小明的观点吗?为什么?(同上要求)
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