Question

12．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，己知CD=2，那么BD=4．

Answer 1

分析 由题意，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则∠BAC=90°-30°=60°，又因为AD是∠BAC的平分线，则∠BAD=∠CAD=30°；根据在直角三角形中30度所对的边是斜边的一半，则AD=2CD=2×2=4；又根据勾股定理可求AC的长；又∠B=30°，则AB=2AC=4$\sqrt{3}$，则根据勾股定理可求得：BC的长，则利用BD=BC-CD即可求出结果．

解答 解：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
根据直角三角形的性质可知：AD=2CD=2×2=4，
根据勾股定理可得：AC=$\sqrt{A{D}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵∠B=30°，
∴AB=2AC=4$\sqrt{3}$，
则根据勾股定理可得：BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=6，
则BD=BC-CD=6-2=4．
故答案为4．

点评 本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了勾股定理的应用，角平分线的定义及应用．