Question

10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，AD是⊙O的切线，点E是BC上一点，且BE=AD．
（1）连接DE，试判断四边形ABED的形状，并说明理由；
（2）若AB=10，BC=12，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）过点A作直径AF交BC于H，如图，利用AF为直径，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，则根据垂径的推论可判定AF垂直平分BC，再利用切线的性质得AF⊥AD，所以AD∥BC，然后根据平行四边形的判定方法判断四边形ABED的形状；
（2）连接OB，AF交BC于H，如图，设⊙O的半径．利用AF垂直平分BC得到BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=6，再利用勾股定理计算出AH=8，然后在Rt△OBH中利用勾股定理得到6²+（8-r）²=r²，再解方程即可．

解答 解：（1）四边形ABED为平行四边形．理由如下：
过点A作直径AF交BC于H，如图，
∵AF为直径，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴AF垂直平分BC，
∵AD是⊙O的切线，
∴AF⊥AD，
∴AD∥BC，
∵BE=AD，
∴四边形ABED为平行四边形；

（2）连接OB，如图，设⊙O的半径．
∵AF垂直平分BC，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=6，
在Rt△ABH中，AH=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
在Rt△OBH中，OH=r，OH=AH-OA=8-r，
∴6²+（8-r）²=r²，解得r=$\frac{25}{4}$，
即⊙O的半径为$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理的推论．