Question

已知，如图，AB∥CD，∠BAC的角平分线与∠DCA的角平分线交于点M，经过点M的直线EF与AB垂直，垂足为F，且EF与CD交于点E．求证：M为EF的中点．

Answer 1

解：过点M作MN⊥AC于点N，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
又∵AM平分∠BAC，CM平分∠DCA，
∴MF=MN，MN=ME，
∴ME=MF，
∴M为EF的中点．
分析：首先过点M作MN⊥AC于点N，由AB∥CD，EF⊥AB，可得EF⊥CD，又由AM平分∠BAC，CM平分∠DCA，根据角平分线的性质，即可得MF=MN，MN=ME，则可证得M为EF的中点．
点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．