Question

4．如图，AB是⊙O的直径，BC是切线，BC=2OB，AC与⊙O相交于点D，求证：OD⊥AB．

Answer 1

分析 根据切线的性质得∠ABC=90°，由于BC=2OB，则可判断△ABC为等腰直角三角形，所以∠A=45°，于是得到∠ODA=∠A=45°，则∠AOD=90°，然后根据垂直的定义即可得到OD⊥AB．

解答 证明：∵BC是切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∵BC=2OB，
∴CB=AB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=45°，
∴∠AOD=90°，
∴OD⊥AB．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．