Question

2．已知两个以O为顶点且不全等的直角三角形△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．
（1）如图1，设∠BOD=α（0°＜α＜60°），点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点．连接FM、EM．请问：随着α的变化，试判断$\frac{FM}{EM}$的值是否发生变化？若不变，请求出$\frac{FM}{EM}$的值；若变化，请说明理由；
（2）如图2，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=1，点P是线段AB上的一个动点，将△COD固定，△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最大值是4；最小值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）连接AD、BC，由∠AOB=∠COD=90°∠ABO=∠DCO=30°，得到$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠AOD=∠BOC，推出△AOD∽△BOC，求得∠OAD=∠CBO，$\frac{AD}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，证得AD⊥BC由于点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，根据三角形的中位线的性质得到EF∥AD，EF=$\frac{1}{2}$AD，于是得到MF∥AD，MF=$\frac{1}{2}$AD，在Rt△EFM中，$\frac{FM}{EM}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为$\frac{3}{2}$，当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP-ON=$\frac{1}{2}$；当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=4．

解答 解：（1）不变；$\frac{FM}{EM}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
如图1，连接AD、BC交于一点Q，AD交BO于P，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∠ABO=∠DCO=30°，
∵$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴∠OAD=∠CBO，$\frac{AD}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠APO=∠BPQ，
∴∠BQP=∠AOB=90°，
∴AD⊥BC，
∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，
∴EF∥AD，EF=$\frac{1}{2}$AD，
∴MF∥BC，MF=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△EFM中，$\frac{FM}{EM}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

（2）如图2，过O作OE⊥AB于E，
∵BO=3，∠ABO=30°，
∴AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$AB•OE=$\frac{1}{2}$OA•OB，
∴OE=$\frac{3}{2}$，
∴当P在点E处时，点P到O点的距离最近为$\frac{3}{2}$，
这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP-ON=$\frac{1}{2}$；
如图4，当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=3+1=4，
∴线段PN长度的最小值为$\frac{1}{2}$，最大值为4．
故答案为：4，$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定和性质三角形的中位线的判定和性质、三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．