Question

14．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在⊙O上，CE=CA，AB，CE的延长线交于点F．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为3，EF=4，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OE，OC，通过三角形求得证得∠OEC=∠OAC，从而证得OE⊥CF，即可证得结论；
（2）根据勾股定理求得OF，解直角三角形求得$tanF=\frac{OE}{EF}=\frac{3}{4}$．进而求得AC=6，从而求得△ABC是等腰直角三角形，根据勾股定理求得BC，然后根据等腰三角形三线合一的性质求得DB即可．

解答 （1）证明：连接OE，OC．
在△OEC与△OAC中，
$\left\{\begin{array}{l}OE=OA\\ OC=OC\\ CE=CA\end{array}\right.$
∴△OEC≌△OAC（SSS），
∴∠OEC=∠OAC．
∵∠OAC=90°，
∴∠OEC=90°．
∴OE⊥CF于E．
∴CF与⊙O相切．
（2）解：连接AD．
∵∠OEC=90°，
∴∠OEF=90°．
∵⊙O的半径为3，
∴OE=OA=3．
在Rt△OEF中，∠OEF=90°，OE=3，EF=4，
∴$OF=\sqrt{O{E^2}+E{F^2}}=5$，$tanF=\frac{OE}{EF}=\frac{3}{4}$．
在Rt△FAC中，∠FAC=90°，AF=AO+OF=8，
∴AC=AF•tanF=6，
∵AB为直径，
∴AB=6=AC，∠ADB=90°．
∴BD=$\frac{BC}{2}$．
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴$BC=\sqrt{A{B^2}+A{C^2}}=6\sqrt{2}$．
∴BD=$3\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．