Question

12．先观察下列等式，再回答问题：
①$\sqrt{{1}^{2}+2+（\frac{1}{1}）^{2}}$=1+1=2；
②$\sqrt{{2}^{2}+2+（{\frac{1}{2}）}^{2}}$=2+$\frac{1}{2}$=2$\frac{1}{2}$；
③$\sqrt{{3}^{2}+2+（{\frac{1}{3}）}^{2}}$=3+$\frac{1}{3}$=3$\frac{1}{3}$；
…
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；
（2）请按照上面各等式规律，试写出用n（n为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．

Answer 1

分析 （1）根据“第一个等式内数值为1，第二个等式内数值为2，第三个等式内数值为3”，即可猜想出第四个等式为$\sqrt{{4}^{2}+2+（\frac{1}{4}）^{2}}$=4+$\frac{1}{4}$=4$\frac{1}{4}$；
（2）根据等式的变化，找出变化规律“$\sqrt{{n}^{2}+2+（\frac{1}{n}）^{2}}$=n+$\frac{1}{n}$=$\frac{{n}^{2}+1}{n}$”，再利用${n}^{2}+2+（\frac{1}{n}）^{2}=（n+\frac{1}{n}）^{2}$开方即可证出结论成立．

解答 解：（1）∵①$\sqrt{{1}^{2}+2+（\frac{1}{1}）^{2}}$=1+1=2；②$\sqrt{{2}^{2}+2+（{\frac{1}{2}）}^{2}}$=2+$\frac{1}{2}$=2$\frac{1}{2}$；③$\sqrt{{3}^{2}+2+（{\frac{1}{3}）}^{2}}$=3+$\frac{1}{3}$=3$\frac{1}{3}$；里面的数值分别为1、2、3，
∴④$\sqrt{{4}^{2}+2+（\frac{1}{4}）^{2}}$=4+$\frac{1}{4}$=4$\frac{1}{4}$．
（2）观察，发现规律：$\sqrt{{1}^{2}+2+（\frac{1}{1}）^{2}}$=1+1=2，$\sqrt{{2}^{2}+2+（{\frac{1}{2}）}^{2}}$=2+$\frac{1}{2}$=2$\frac{1}{2}$，$\sqrt{{3}^{2}+2+（{\frac{1}{3}）}^{2}}$=3+$\frac{1}{3}$=3$\frac{1}{3}$，$\sqrt{{4}^{2}+2+（\frac{1}{4}）^{2}}$=4+$\frac{1}{4}$=4$\frac{1}{4}$，…，
∴$\sqrt{{n}^{2}+2+（\frac{1}{n}）^{2}}$=n+$\frac{1}{n}$=$\frac{{n}^{2}+1}{n}$．
证明：等式左边=$\sqrt{{n}^{2}+2n•\frac{1}{n}+（\frac{1}{n}）^{2}}$，
=$\sqrt{（n+\frac{1}{n}）^{2}}$，
=n+$\frac{1}{n}$，
=$\frac{{n}^{2}+1}{n}$=右边．
故$\sqrt{{n}^{2}+2+（\frac{1}{n}）^{2}}$=n+$\frac{1}{n}$=$\frac{{n}^{2}+1}{n}$成立．

点评 本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数值为4；（2）找出变化规律“$\sqrt{{n}^{2}+2+（\frac{1}{n}）^{2}}$=n+$\frac{1}{n}$=$\frac{{n}^{2}+1}{n}$”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键．