Question

已知一次函数y=kx+b与y轴交于点B（0，9），与x轴的负半轴交于点A，且tan∠BAO=1．今有反比例函数与一次函数y=kx+b的图象交于C、D两点，且BD²+BC²=90．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求反比例函数的解析式．

Answer 1

解：（1）∵tan∠BAO=1，
∴OA=OB，
∵点B（0，9），
∴点A（-9，0），
∴，
解得，
所以，一次函数的解析式为y=x+9；

（2）联立得，x²+9x-m=0，
设点C、D的横坐标分别为x₁、x₂，
∵BD²+BC²=90，
∴2（x₁²+x₂²）=90，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=9²-4（-m）=45，
即81+4m=45，
解得m=-9，
∴反比例函数解析式为y=-．
分析：（1）根据∠BAO的正切值求出OA=OB，然后求出点A的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）联立两函数解析式消掉y得到关于x的一元二次方程，根据k值为1可得BD²+BC²的值点C、D的横坐标的平方和的2倍，再利用根与系数的关系列式求出m，即可得解．
点评：本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，（1）求出点A的坐标是解题的关键，（2）利用根与系数的关系得到关于m的方程是解题的关键．