【题目】如图,在正方形ABCD中,点E、G分别是边AD、BC的中点,AF= AB.
(1)求证:EF⊥AG;
(2)若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动,点G运动速度是点F运动速度的2倍,EF⊥AG是否成立(只写结果,不需说明理由)?
(3)正方形ABCD的边长为4,P是正方形ABCD内一点,当S△PAB=S△OAB , 求△PAB周长的最小值.
【答案】
(1)
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠EAF=∠ABG=90°,
∵点E、G分别是边AD、BC的中点,AF= AB.
∴ = , = ,
∴ ,
∴△AEF∽△BAG,
∴∠AEF=∠BAG,
∵∠BAG+∠EAO=90°,
∴∠AEF+∠EAO=90°,
∴∠AOE=90°,
∴EF⊥AG;
(2)
解:成立;理由如下:
根据题意得: = ,
∵ = ,
∴ ,
又∵∠EAF=∠ABG,
∴△AEF∽△BAG,
∴∠AEF=∠BAG,
∵∠BAG+∠EAO=90°,
∴∠AEF+∠EAO=90°,
∴∠AOE=90°,
∴EF⊥AG
(3)
解:过O作MN∥AB,交AD于M,BC于N,如图所示:
则MN⊥AD,MN=AB=4,
∵P是正方形ABCD内一点,当S△PAB=S△OAB,
∴点P在线段MN上,当P为MN的中点时,△PAB的周长最小,
此时PA=PB,PM= MN=2,
连接EG、PA、PB,则EG∥AB,EG=AB=4,
∴△AOF∽△GOE,
∴ = ,
∵MN∥AB,
∴ = ,
∴AM= AE= ×2= ,
由勾股定理得:PA= = ,
∴△PAB周长的最小值=2PA+AB= +4.
【解析】(1)由正方形的性质得出AD=AB,∠EAF=∠ABG=90°,证出 ,得出△AEF∽△BAG,由相似三角形的性质得出∠AEF=∠BAG,再由角的互余关系和三角形内角和定理证出∠AOE=90°即可;(2)证明△AEF∽△BAG,得出∠AEF=∠BAG,再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论;(3)过O作MN∥AB,交AD于M,BC于N,则MN⊥AD,MN=AB=4,由三角形面积关系得出点P在线段MN上,当P为MN的中点时,△PAB的周长最小,此时PA=PB,PM= MN=2,连接EG,则EG∥AB,EG=AB=4,证明△AOF∽△GOE,得出 = ,证出 = ,得出AM= AE= ,由勾股定理求出PA,即可得出答案.
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识,掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2,以及对矩形的性质的理解,了解矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等.
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【题目】如图,某景区有一出索道游览山谷的旅游点,已知索道两端距离AB为1300米,在山脚C点测得BC的距离为500米,∠ACB=90°,在C点观测山峰顶点A的仰角∠ACD=23.5°,求山峰顶点A到C点的水平面高度AD.(参考数据:sin23.5°≈0.40,cos23.5°=0.92,tan23.5°=0.43)
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,在斜边AB上取一点D,过点D作DE∥BC,交AC于点E,现将△ADE绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置(点D在△ABC的内部),使得∠ABD+∠ACD=90°.
(1)①求证:△ABD∽△ACE;
②若CD=1,BD= ,求AD的长.
(2)如图3,将原题中的条件“AC=BC”去掉,其它条件不变,设 = =k,若CD=1,BD=2,AD=3,求k的值.
(3)如图4,将原题中的条件“∠ACB=90°”去掉,其它条件不变,若 = = ,设CD=m,BD=n,AD=p,试探究m,n,p三者之间满足的等量关系.(直接写出结果,不必写出解答过程)
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【题目】如图,抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0)、B两点,与y轴交于点C(0,2),抛物线的对称轴交x轴于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求sin∠ABC的值;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(4)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时线段EF最长?求出此时E点的坐标.
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【题目】在“宏扬传统文化,打造书香校园”活动中,学校计划开展四项活动:“A﹣国学诵读”、“B﹣演讲”、“C﹣课本剧”、“D﹣书法”,要求每位同学必须且只能参加其中一项活动,学校为了了解学生的意愿,随机调查了部分学生,结果统计如下:
(1)如图,希望参加活动C占20%,希望参加活动B占15%,则被调查的总人数为人,扇形统计图中,希望参加活动D所占圆心角为度,根据题中信息补全条形统计图.
(2)学校现有800名学生,请根据图中信息,估算全校学生希望参加活动A有多少人?
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【题目】如图,∠BAC=60°,点O从A点出发,以2m/s的速度沿∠BAC的角平分线向右运动,在运动过程中,以O为圆心的圆始终保持与∠BAC的两边相切,设⊙O的面积为S(cm2),则⊙O的面积S与圆心O运动的时间t(s)的函数图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】某市为创建全国文明城市,开展“美化绿化城市”活动,计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米.自2013年初开始实施后,实际每年绿化面积是原计划的1.6倍,这样可提前4年完成任务.
(1)问实际每年绿化面积多少万平方米?
(2)为加大创城力度,市政府决定从2016年起加快绿化速度,要求不超过2年完成,那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米?
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【题目】某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高,并制作了如下不完整的统计图表.
身高分组 | 频数 | 频率 |
152≤x<155 | 3 | 0.06 |
155≤x<158 | 7 | 0.14 |
158≤x<161 | m | 0.28 |
161≤x<164 | 13 | n |
164≤x<167 | 9 | 0.18 |
167≤x<170 | 3 | 0.06 |
170≤x<173 | 1 | 0.02 |
根据以上统计图表完成下列问题:
(1)统计表中m= , n= , 并将频数分布直方图补充完整;
(2)在这次测量中两班男生身高的中位数在:范围内;
(3)在身高≥167cm的4人中,甲、乙两班各有2人,现从4人中随机推选2人补充到学校国旗护卫队中,请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率.
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【题目】八年级一班开展了“读一本好书”的活动,班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查,问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型,每位同学仅选一项,根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图.
类别 | 频数(人数) | 频率 |
小说 | 0.5 | |
戏剧 | 4 | |
散文 | 10 | 0.25 |
其他 | 6 | |
合计 | 1 |
根据图表提供的信息,解答下列问题:
(1)八年级一班有多少名学生?
(2)请补全频数分布表,并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比;
(3)在调查问卷中,甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类,现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组,请用画树状图或列表法的方法,求选取的2人恰好是乙和丙的概率.
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