Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，延长弦BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径为6，∠BAC=60°，延长ED交AB延长线于点F，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图

直线DE与⊙O的位置关系是相切，

证明：连接OD，

∵AO=BO，BD=DC，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∵OD为半径，

直线DE是⊙O的切线，

即直线DE与⊙O的位置关系是相切

（2）

解：

∵OD∥AC，∠BAC=60°，

∴∠DOB=∠A=60°，

∵DE是⊙O切线，

∴∠ODF=90°，

∴∠F=30°，

∴FO=2OD=12，

由勾股定理得：DF=6 ，

∴阴影部分的面积S=S△ODF﹣S扇形DOB= ×6×6 ﹣ =18 ﹣6π

【解析】（1）连接OD，根据三角形的中位线得出OD∥AC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；（2）求出∠DOF=60°，∠F=30°，求出DF，根据阴影部分的面积等于三角形ODF的面积减去扇形DOB的面积，分别求出后代入即可．
【考点精析】关于本题考查的圆周角定理和切线的判定定理，需要了解顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能得出正确答案．