Question

如图，四边形ABCD中，AB=CD，AB∥DC，点E、F分别在AD、BC上，且DE=BF，EF与BD相交于点O．求证：BD与EF互相平分．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据两直线平行，内错角相等可得∠ABD=∠CDB，再利用“边角边”证明△ABD和△CDB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EDO=∠FBO，再利用“角角边”证明△EOD和△FOB全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，OB=OD，从而得证．

解答：证明：∵AB∥DC，
∴∠ABD=∠CDB，
在△ABD和△CDB中，

AB=CD ∠ABD=∠CDB BD=DB

，
∴△ABD≌△CDB（SAS），
∴∠EDO=∠FBO，
在△EOD和△FOB中，

∠EDO=∠FBO ∠EOD=∠FOB DE=BF

，
∴△EOD≌△FOB（AAS），
∴OE=OF，OB=OD，
∴BD与EF互相平分．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，难点在于两次证明三角形全等．