Question

（2012•成都模拟）已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC为直径，AD⊥BC于点D，点E为DA延长线上一点，连接BE，交⊙O于点F，连接CF，交AB、AD于M、N两点．
（1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x²-2mx+n²-mn+

5

4

m²=0的两个实数根，求证：AM=AN；
（2）若AN=

15

8

，DN=

9

8

，求DE的长；
（3）若在（1）的条件下，S_△AMN：S_△ABE=9：64，且线段BF与EF的长是关于y的一元二次方程5y²-16ky+10k²+5=0的两个实数根，求直径BC的长．

Answer 1

分析：（1）根据根的判别式得出△=0，进而判断出AM=AN，
（2）首先判断出△ADC∽△BDA，△ADC∽△BDA，再利用相似三角形的性质解答，
（3）根据面积比等于相似比的平方解答．

解答：（1）证明：△=（-2m）²-4（n²-mn+

5

4

m²）=-（m-2n）²≥0，
∴（m-2n）²≤0，
∴m-2n=0，
∴△=0
∴一元二次方程x²-2mx+n²-mn+

5

4

m²=0有两个相等实根，
∴AM=AN．

（2）解：∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠DAC=∠DBA，
∴△ADC∽△BDA，
∴

AD

BD

=

DC

AD

，
∴AD²=BD•DC，
∵CF⊥BE，
∴∠FCB+∠EBD=90°，
∵∠E+∠EBD=90°，
∴∠E=∠FCB，
∵∠NDC=∠EDB=90°，
∴△EBD∽△CND，
∴

ED

CD

=

BD

DN

，
∴BD•DC=ED•DN，
∴AD²=ED•DN，
∵AN=

15

8

，DN=

9

8

，
∴AD=DN+AN=3，
∴3²=

9

8

DE，
∴DE=8．

（3）解：由（1）知AM=AN，
∴∠AMN=∠ANM
∵∠ACM+∠CAN=90°，∠DNC+∠NCD=90°，
∴∠ACM=∠NCD
∵∠BMF+∠FBM=90°，∠AMC+∠ACM=90°，
∴∠ACM=∠FBM
由（2）可知∠E=∠FCB，
∴∠ABE=∠E，
∴AB=AE
过点M作MG⊥AN于点G
由MG∥BD得

MG

BD

=

AM

AB

，
∴

S△AMN

S△ABE

=

1 2 AN•MG

1 2 AE•BD

=

AM

AB2

2=

9

64

，
∴

AM

AB

=

3

8

，
∴

AN

AE

=

AM

AB

=

3

8

，
过点A作AH⊥EF于点H，
由AH∥FN，
得

EH

HF

=

AE

AN

=

8

3

，
设EH=8a，则FH=3a，
∵AE=AB，
∴BH=HE=8a，
∴BF=5a，EF=11a，
由根与系数关系得，

BE+EF=16a= 16 5 k BF•EF=55a2=2k2+1

，
解得：a=±

5

5

，
∵a＞0，a=

5

5

，
∴BF=

5

，
由∠ACM=∠MCB，∠DAC=∠DBA可知△ACN∽△BCM，
∴

AC

BC

=

AN

BM

=

3

5

设AC=3b，则BC=5b
在Rt△ABC中，有AB=4b．
∴AM=

3

2

b．
在Rt△ACM中，有MC=

3 5

2

b
由△ACM∽△FCB得

BC

BF

=

CM

AM

，∴

BC

5

=

3 5 2 b

3 2 b

，
∴BC=5．

点评：此题综合考查一元二次方程的根与系数的关系，三角形相似的判定及性质的应用，此题综合性强，难度大，有利于培养同学们对知识综合运用的能力．