Question

12．如图，在菱形ABCD中，AC=AB，P是AB边上的任意一点（点P与A，B两点不重合），PQ∥BC交AC于点Q，DQ的延长线交PC于点E，AE的延长线交BC于点F，连接FQ，则下列结论错误的是（　　）

• A． FQ∥AB
• B． AQ=BF
• C． ∠PEF=120°
• D． DE不是∠AEC的平分线

Answer 1

分析 由菱形的性质和已知条件证明△ABC是等边三角形，得出∠B=∠ACB=∠BAC=60°，再证明△APQ是等边三角形，得出AP=AQ=PQ，由SAS证明△AQD≌△APC，得出∠AQD=∠APC，得出A、P、E、Q四点共圆，由圆周角定理得出∠AEQ=∠APQ=60°，∠AEP=∠AQP=60°，得出∠QEC=60°，得出D错误；
证明E、F、C、Q四点共圆，得出∠CFQ=∠CEQ=60°，得出∠CFQ=∠B，证出FQ∥AB，A正确；
证明四边形BFQP是平行四边形，得出PQ=BF，得出B正确；由∠AEP=60°，得出∠PEF=120°，C正确；即可得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵AC=AB，
∴AB=BC=AC=AD，即△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠DAQ=∠BAC=60°，
∵PQ∥BC，
∴∠APQ=∠B=60°，∠AQP=∠ACB=60°，
∴∠APQ=∠AQP=∠BAC，
∴△APQ是等边三角形，
∴AP=AQ=PQ，
在△AQD和△APC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AC}&{\;}\\{∠DAQ=∠CAP}&{\;}\\{AQ=AP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AQD≌△APC（SAS），
∴∠AQD=∠APC，
∴A、P、E、Q四点共圆，
∴∠AEQ=∠APQ=60°，∠AEP=∠AQP=60°，
∴∠QEC=60°，
∴∠AEQ=∠CEQ=60°，
∴DE是∠AEC的平分线，D错误；
∵∠AEQ=∠ACB，
∴E、F、C、Q四点共圆，
∴∠CFQ=∠CEQ=60°，
∴∠CFQ=∠B，
∴FQ∥AB，A正确；
∵PQ∥BC，FQ∥AB，
∴四边形BFQP是平行四边形，
∴PQ=BF，
∴AQ=BF，B正确；
∵∠AEP=60°，
∴∠PEF=120°，C正确；
错误的结论是D．
故选：D．

点评 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、平行四边形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，需要两次证明四点共圆才能得出结论．