Question

17．已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为M（2，-1），且与直线y=x+1相交于点A（0，1）和点B，P为线段AB上一动点（点P不与A、B重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，交抛物线于点Q，设点P的横坐标为m，PQ的长为l，试确定l与m之间的函数关系式，并求m的取值范围；
（3）设直线y=x+1与x轴交于点C，是否存在点P使得以P、A、M为顶点的三角形与△CAM相似？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设顶点式y=a（x-2）²-1，然后把A点坐标代入求出a的值即可；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征，设P（m，m+1），则Q（m，$\frac{1}{2}$m²-2m+1），易得PQ=-$\frac{1}{2}$m²+3m，再通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+1}\end{array}\right.$得B（6，7），于是可得到m的取值范围，从而有l=-$\frac{1}{2}$m²+3m（0＜m＜6）；
（3）先确定C（-1，0），再利用两点间的距离公式计算出AC=$\sqrt{2}$，AM=2$\sqrt{2}$，MC=$\sqrt{10}$，则可利用勾股定理的逆定理证明△ACM为直角三角形，∠CAM=90°，由于∠CAM=∠PAM=90°，根据相似三角形的判定方法，当$\frac{AM}{AP}$=$\frac{AC}{AM}$时，△AMP∽△ACM，利用相似比计算出AP=4$\sqrt{2}$，则利用两点间的距离公式得到m²+（m+1-1）²=（4$\sqrt{2}$）²，当$\frac{AM}{AM}$=$\frac{AC}{AP}$时，△AMP∽△AMC，利用相似比得AP=AC=$\sqrt{2}$，则利用两点间的距离公式得到m²+（m+1-1）²=（$\sqrt{2}$）²，再分别解关于m的一元二次方程求出m，从而可得到满足条件的P点坐标．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-2）²-1，
把A（0，1）代入得4a-1=1，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-2）²-1，即y=$\frac{1}{2}$x²-2x+1；
（2）设P（m，m+1），则Q（m，$\frac{1}{2}$m²-2m+1），
所以PQ=m+1-（$\frac{1}{2}$m²-2m+1）=-$\frac{1}{2}$m²+3m，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=7}\end{array}\right.$，则B（6，7），
因为P为线段AB上一动点（点P不与A、B重合），
所以0＜m＜6；
所以l=-$\frac{1}{2}$m²+3m（0＜m＜6）；
（3）存在．
当y=0时，x+1=0，解得x=-1，则C（-1，0），
而A（0，1），M（2，-1），
∵AC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，AM=$\sqrt{{2}^{2}+（-1-1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，MC=$\sqrt{（2+1）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴AC²+AM²=MC²，
∴△ACM为直角三角形，∠CAM=90°，
∵∠CAM=∠PAM=90°，
∴当$\frac{AM}{AP}$=$\frac{AC}{AM}$时，△AMP∽△ACM，即$\frac{2\sqrt{2}}{AP}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$，解得AP=4$\sqrt{2}$，则m²+（m+1-1）²=（4$\sqrt{2}$）²，解得m₁=4，m₂=-4（舍去），此时P点坐标为（4，5）；
当$\frac{AM}{AM}$=$\frac{AC}{AP}$时，△AMP∽△AMC，即AP=AC=$\sqrt{2}$，则m²+（m+1-1）²=（$\sqrt{2}$）²，解得m₁=1，m₂=-1（舍去），此时P点坐标为（1，2）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（1，2）或（4，5）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征；会利用待定系数法求函数的解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会运用勾股定理的逆定理证明直角三角形和利用相似比计算线段的长；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．