Question

5．已知：如图，一次函数y=$\frac{1}{2}$x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的图象与一次函数y=$\frac{1}{2}$x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．
（1）求二次函数的表达式及C点的坐标；
（2）观察图象，直接写出下面小题的答案：不等式$\frac{1}{2}$x²+bx+c＞$\frac{1}{2}$x+1的解集为x＜0或x＞4；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PC+PE的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出点B的坐标，然后将点B、D的坐标代入二次函数解析式，求出b、c的值，然后求出一次函数和二次函数的交点C的坐标；
（2）根据图象可得，当不等式$\frac{1}{2}$x²+bx+c＞$\frac{1}{2}$x+1时，解集为x＜0或x＞4；
（3）根据题意可得，点D、E关于二次函数的对称轴对称，连接CD与对称轴的交点即为点P使PC+PE的值最小．

解答 解：（1）∵一次函数y=$\frac{1}{2}$x+1与y轴的交点为B，
令x=0，可得y=1，
∴B（0，1），
将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得，
$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{b+c+\frac{1}{2}=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1，
∵二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
∴C（4，3）；
（2）由图可得，当x＜0或x＞4时，不等式$\frac{1}{2}$x²+bx+c＞$\frac{1}{2}$x+1；
故答案为：x＜0或x＞4．
（3）∵点D和点E关于x=$\frac{3}{2}$对称，
连接DC与对称轴的交点即为符合条件的点P，使PC+PE的值最小，
设直线CD的解析式为y=kx+m，
则$\left\{\begin{array}{l}{4k+m=3}\\{k+m=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{m=-1}\end{array}\right.$，
∴解析式为：y=x-1，
当x=$\frac{3}{2}$时，y=$\frac{1}{2}$，
∴点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 此题考查了二次函数的综合应用，涉及了利用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、函数图象交点坐标以及轴对称-最短路径问题等知识，难度适中．