Question

20．已知$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$=a（a≠0且a≠$\frac{1}{2}$），求$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$的值．

Answer 1

分析 由已知条件得到$\frac{{x}^{2}+x+1}{x}$=$\frac{1}{a}$，利用分式的除法得x+1+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{a}$，即x+$\frac{1}{x}$=$\frac{1-a}{a}$，再表变形$\frac{{x}^{4}+{x}^{2}+1}{{x}^{2}}$得到x²+1+$\frac{1}{{x}^{2}}$，接着利用完全平方公式得到（x+$\frac{1}{x}$）²-1，所以$\frac{{x}^{4}+{x}^{2}+1}{{x}^{2}}$=$\frac{1-2a}{{a}^{2}}$，然后利用倒数定义即可得到原式的值．

解答 解：∵$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$=a，
∴$\frac{{x}^{2}+x+1}{x}$=$\frac{1}{a}$，
∴x+1+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{a}$，
∴x+$\frac{1}{x}$=$\frac{1-a}{a}$，
∴$\frac{{x}^{4}+{x}^{2}+1}{{x}^{2}}$=x²+1+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-1=（$\frac{1-a}{a}$）²-1=$\frac{1-2a+{a}^{2}}{{a}^{2}}$-1=$\frac{1-2a}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$=$\frac{{a}^{2}}{1-2a}$．

点评 本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．本题的关键是利用倒数法求分式的值．