Question

18．如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，m）是线段OC上以一动点（C点除外）．直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当AP=AD时，求m的值；
（3）当PD=PA时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）首先证明△PCM≌△DBM，即可得到PC=BD，结合正方形的性质以及点P的坐标特点进而求出点D的坐标；
（2）若AP=AD，先根据勾股定理求出AP的长，进而列出m的一元一次方程求出m的值；
（3）过P作PE⊥AB于点E，根据PD=PA可得到AE=DE，结合AE=OP列出m的方程，求出m的值．

解答 解：（1）∵M是BC的中点，
∴CM=BM，
在△PCM和△DBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCM=∠DBM}\\{CM=BM}\\{∠CMP=∠BMD}\end{array}\right.$，
∴△PCM≌△DBM，
∴PC=BD，
∵点P（0，m），
∴PC=BD=2-m，
∴AD=4-m，
∴点D坐标为（2，4-m）；
（2）若AP=AD，
则OA²+OP²=AP²=AD²，
即4+m²=（4-m）²，
解得m=$\frac{3}{2}$；
（3）若PD=PA，过P作PE⊥AB于点E，如图，
则AE=ED=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$（4-m），
又知OP=AE，
即m=$\frac{1}{2}$（4-m），
解得m=$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了四边形的知识，此题涉及到全等三角形的判断与性质、点的坐标、勾股定理以及正方形的性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理求边长等知识，此题难度不大．