Question

（1）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是______．（无须证明）

（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=60°、∠ADE=45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）线段BD、DE、CE之间的等量关系式是：BD²+CE²=DE²；
理由：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABD=∠ACE=45°，由旋转的性质可知，△AEC≌△AFB，
∴∠ABF=∠ACE=45°，FB=CE
∴∠FBD=∠ABF+∠ABD=90°旋转角∠FAE=90°，又∠DAE=45°，
故∠FAD=∠FAE-∠DAE=45°，
易证△AFD≌△AED，故FD=DE，
在Rt△FBD中，由勾股定理得：BD²+BF²=DF²；
即：BD²+CE²=DE²．

（2）仿照（1）可证，△AEC≌△AFB，
故BF=CE，△AFD≌△AED，故FD=DE，
∵∠ADE=45°，
∴∠ADF=45°，故∠BDF=90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF²=BD²+DF²，
∴CE²=BD²+DE²．
分析：（1）将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，可证△AEC≌△AFB，故BF=CE，旋转角∠FAE=90°，又∠DAE=45°，故∠FAD=∠FAE-∠DAE=45°，易证△AFD≌△AED，故FD=DE，因为△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，所以∠ABC=∠FAB=45°，从而可得∠FAD=90°，在Rt△FBD中，由勾股定理得线段BD、DE、CE之间的等量关系式；
（2）方法同（2），由∠ADE=45°可得∠ADF=45°，故∠BDF=90°，斜边BF=CE，直角边DF=DE，由勾股定理建立等量关系．
点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的证明及勾股定理的运用．