Question

如图，在△ABC中，AB=AC，CD是边AB上的高，且CD=2，AD=1，四边形BDEF是正方形．△CEF和△BDC相似吗？试证明你的结论．

Answer 1

解：△CEF∽△BDC，理由为：
证明：在Rt△ADC中，AD=1，CD=2，
∴根据勾股定理得：AC=AB==，
又四边形BDEF为正方形，
∴EF=BD=AB-AD=-1，CE=CD-DE=CD-EF=2-（-1）=3-，
∴==，
又∵=，
∴=，即=，
又∠CEF=∠BDC=90°，
∴△CEF∽△BDC．
分析：△CEF∽△BDC，理由为：由CD为AB上的高，得到三角形ADC为直角三角形，由CD与AD的长，利用勾股定理求出AC的长，根据AB=AC，得出AB的长，再由四边形BDEF为正方形，得到四条边相等，得到EF=BD，而BD=AB-AD求出，得到EF的长，再由CE=CD-DE求出CE的长，进而求出CE与EF的比值，再求出BD与CD的比值，发现其比值相等，再由夹角都为直角相等，利用两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似可得证．
点评：此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，以及正方形的性质，相似三角形的判定方法有：两对对应角相等的两三角形相似；两边成比例且夹角相等的两三角形相似；三边成比例的两三角形相似．