Question

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P为对角线AC上一动点，PE⊥PF分别交AD、AB于E、F，求的值．

Answer 1

解：作PM⊥AD于M，PN⊥AB于N，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠B=90°，DC=AB=3，
∴PM∥DC，PN∥BC，
∴△APM∽△ACD，△ANP∽△ABC，
∴=，=，
∴=，
∴==，
∵PM∥DC，PN∥BC，
∴∠MPN=90°，即∠1+∠EPN=90°，
∵PE⊥PF，
∴∠EPF=90°，即∠2+∠EPN=90°，
∴∠1=∠2，
∴Rt△PME∽Rt△PFN，
∴=．
分析：作PM⊥AD于M，PN⊥AB于N，根据矩形的性质得∠D=∠B=90°，DC=AB=3，利用PM∥DC，PN∥BC可判断△APM∽△ACD，△ANP∽△ABC，则=，=，等量代换后得==，由于∠EPF=90°，即∠2+∠EPN=90°，根据等角的余角相等得∠1=∠2，于是可判断Rt△PME∽Rt△PFN，然后利用相似的性质求解．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比．也考查了矩形的性质．