Question

已知双曲线y=

3

x

和直线y=kx+2（k是常数）相交于点A（x₁，y₁）和点B（x₂，y₂），（x₁＜x₂）且x12+x22=10．
（1）求k值；
（2）在同一平面直角坐标系中画出两个函数图象，根据图象写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）联立两函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，由两函数有两个交点，得到根的判别式大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，将已知等式利用完全平方公式变形后，将两根之和与两根之积代入得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值；
（2）由k的值确定出一次函数解析式，在同一个坐标系中画出两函数图象，求出两函数交点A与B的坐标，由A与B的横坐标及0，将x轴分为四个范围，在图象上找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可．

解答：解：（1）联立两函数解析式得：

y= 3 x y=kx+2

，
消去y得：

3

x

=kx+2，即kx²+2x-3=0，
∴△=b²-4ac=4+12k＞0，即k＞-

1

3

，
∴x₁+x₂=-

2

k

，x₁x₂=-

3

k

，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=

4

k2

+

6

k

=10，
整理得：5k²-3k-2=0，即（5k+2）（k-1）=0，
解得：k=-

2

5

（不合题意，舍去）或k=1，
则k的值为1；
（2）由k=1得到一次函数解析式为y=x+2，与反比例函数y=

3

x

联立，
可得A（1，3），B（-3，1），
在同一个坐标系中画出两函数图象，如图所示，

由图象可得：一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围为-3＜x＜0或x＞1．

点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：根与系数的关系，完全平方公式的运用，一元二次方程的解法，以及坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，做题时注意灵活运用．