Question

已知：正方形ABCD的边长为6，点E为BC的中点，点F在AB边上，BF=2AF．画出∠EDF，猜想∠EDF的度数并写出计算过程．

Answer 1

考点：正方形的性质,勾股定理

专题：

分析：根据题意画出图形，进一步作出辅助线，利用三角形全等，勾股定理，以及正方形的性质解决问题即可．
方法一：连接EF，作FG⊥DE于点G，利用勾股定理得出Rt△DFG和Rt△EFG中，有FG²=DF²-DG²=EF²-EG²，求得DG=DF，得出结论；
方法二：延长BC到点H，使CH=AF，连接DH，EF，证得△ADF≌△CDH和△DEF≌△DEH得出结论．

解答：解：所画∠EDF如图所示，
∠EDF的度数为45． 

解法一：如图，

连接EF，作FG⊥DE于点G． 
∵正方形ABCD的边长为6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠A=∠B=∠C=90°．
∵点E为BC的中点，
∴BE=EC=3．
∵点F在AB边上，BF=2AF，
∴AF=2，BF=4．
在Rt△ADF中，∠A=90°，
DF²=AD²+AF²=6²+2²=40．
在Rt△BEF，Rt△CDE中，
同理有EF²=BE²+BF²=3²+4²=25，DE²=CD²+CE²=6²+3²=45．
在Rt△DFG和Rt△EFG中，有FG²=DF²-DG²=EF²-EG²．
设DG=x，则40-x2=25-(3

5

-x)2． 
整理，得6

5

x=60．
解得 x=2

5

，即DG=2

5

． 
∴FG=

DF2-DG2

=

40-(2 5 )2

=

20

=2

5

．
∴DG=FG．
∵∠DGF=90°，
∴∠EDF=

180°-∠DGF

2

=45°． 
解法二：如图，

延长BC到点H，使CH=AF，连接DH，EF．
∵正方形ABCD的边长为6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠A=∠B=∠ADC=∠DCE=90°．
∴∠DCH=180°-∠DCE=90°，∠A=∠DCH．
在△ADF和△CDH中，

AD=CD ∠A=∠DCH AF=CH

∴△ADF≌△CDH（SAS） 
∴DF=DH，∠1=∠2．
∴∠FDH=∠FDC+∠2=∠FDC+∠1=∠ADC=90°．
∵点E为BC的中点，
∴BE=EC=3．
∵点F在AB边上，BF=2AF，
∴CH=AF=2，BF=4．
∴EH=CE+CH=5．
在Rt△BEF中，∠B=90°，
EF=

BE2+BF2

=

32+42

=5．
∴EF=EH．
又∵DE=DE，
在△DEF和△DEH中，

DF=DH EF=EH DE=DE

，
∴△DEF≌△DEH（SSS） 
∴∠EDF=∠EDH=

∠FDH

2

=45°．

点评：此题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，利用了转化的数学思想方法．