Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE交射线AC于点F．
（1）求AC和BC的长；
（2）当EF∥BC时，求BE的长；
（3）连接EF，当△DEF和△ABC相似时，求BE的长．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°
∵，∴设AC=3k，BC=4k，
∴AB=5k=5，∴k=1，
∴AC=3，BC=4；

（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H．
易得△EHB∽△ACB
设EH=CF=3k，BH=4k，BE=5k；
∵EF∥BC∴∠EFD=∠FDC
∵∠FDE=∠C=90°
∴△EFD∽△FDC
∴∴FD²=EF•CD，
即9k²+4=2（4-4k）
化简，得9k²+8k-4=0
解得（负值舍去），
∴；

（3）过点E作EH⊥BC，垂足为H．
易得△EHB∽△ACB
设EH=3k，BE=5k
∵∠HED+∠HDE=90°∠FDC+∠HDE=90°
∴∠HED=∠FDC
∵∠EHD=∠C=90°
∴△EHD∽△DCF
∴，
当△DEF和△ABC相似时，有两种情况：1°，
∴，
即解得，
∴2°，
∴，
即解得，
∴．
综合1°、2°，当△DEF和△ABC相似时，BE的长为或．
分析：（1）可设AC=3k，BC=4k，由条件AB=5，，可求出AC和BC的长；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H，容易证得△EHB∽△ACB，设EH=CF=3k，BH=4k，BE=5k；根据相似的性质可求出k的值问题得解；
（3）过点E作EH⊥BC，垂足为H，易得△EHB∽△ACB，设EH=3k，BE=5k，根据相似的性质可求出k的值，在解题时要注意分类讨论．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及解直角三角形的运用，题目难度不小，具有一定的综合性．特别是三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．