Question

如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．

Answer 1

分析：猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．根据∵S_△PAB=

1

2

AB•PD，S_△PAC=

1

2

AC•PE，S_△CAB=

1

2

AB•CF，S_△PAC=

1

2

AC•PE，

1

2

AB•PD=

1

2

AB•CF+

1

2

AC•PE，即可求证．

解答：解：我的猜想是：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．理由如下：
连接AP，则S_△PAC+S_△CAB=S_△PAB，
∵S_△PAB=

1

2

AB•PD，S_△PAC=

1

2

AC•PE，S_△CAB=

1

2

AB•CF，
又∵AB=AC，
∴S_△PAC=

1

2

AB•PE，
∴

1

2

AB•PD=

1

2

AB•CF+

1

2

AB•PE，
即

1

2

AB（PE+CF）=

1

2

AB•PD，
∴PD=PE+CF．

点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形的面积，难度适中，关键是先猜想出PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF再证明．