Question

（1）如图，已知：AB∥CD，直线EF分别交AB和CD于点P、Q，QS平分∠DQF，∠BPF=70°．求∠DQS的度数．






（2）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，E是AD上一点，过点C作CG∥AB，延长BE交AC于点F，交C G于点G．
①图中找出一条与线段BE相等的线段；
②求证：BE²=EF•EG．

Answer 1

解：（1）∵AB∥CD，∴∠DQF=∠BPF=70°，又∵QS平分∠DQF，∴∠DQS=∠DQF=35°；

（2）①BE=EC；
②证明：∵AB=AC，BE=EC，AE=AE，
∴△ABE≌△ACE，
∴∠ABE=∠ACE，
又∵CG∥AB，
∴∠ABE=∠CGE，
∴∠CGE=∠ACE，而∠CEF=∠GEC，
∴△ECF∽△EGC，
∴=，即CE²=EF•EG，
BE²=EF•EG．
分析：（1）利用平行线的性质求∠DQF，利用角平分线性质求∠DQS；
（2）①根据已知证明AD垂直平分BC，得出BE=DE；
②由①根据“SSS”证明△ABE≌△ACE，得∠ABE=∠ACE，又CG∥AB，得∠ABE=∠CGE，可知∠CGE=∠ACE，证明△ECF∽△EGC，得出相似比变形即可．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质．关键是由相似三角形的判定与性质推出角相等，得到线段相等．