Question

如图，四边形AFCD是菱形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的直径为10cm，求AE的长．（sin67.5°=0.92，tan67.5°=2.41，精确到0.1）

Answer 1

解：（1）相切 理由如下：
连接DO，
∵∠AED=45°，
∴∠AOD=90°．
∵四边形ABCD是菱形，DC∥AB
∴∠COD=∠AOD=90°，
又∵OD是半径，CD经过点D
∴CD是⊙O的切线．

（2）连接EB，
∵∠DAF=45°，AB为直径，
∴∠AEB=90°．
又∵四边形ABCD是菱形，AD=AF，
∵∠ADF=∠AFD=∠ABE=67.5°
∴sin67.5°=，
∴AE=0.92×10=9.2．
分析：（1）连接OD，则∠AOD为直角，由四边形ABCD是菱形，则AB∥DC．从而得出∠CDO=90°，即可证出答案．
（2）连接BE，利用圆和菱形的性质求得∠ADF的度数，并利用其正切值在Rt△ABE中，求得AE即可．
点评：本题考查了切线的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及圆周角定理，注意辅助线的作法是解此题的关键．